Concrètement, pour un circuit tel que celui présenté dans la figure ci-dessus, la loi d'Ohm et les lois de Kirchhoff nous permettent d'établir les relations suivantes :
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Loi des courants de Kirchhoff |
Loi d'Ohm |
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Comme vous l'avez certainement constaté, on n'utilise pas, comme d'habitude, la résistance dans la loi d'Ohm mais plutôt l'inverse de celle-ci : la conductance. En effet, comme on le verra plus loin, l'usage de la conductance permet de faciliter les calculs matriciels propres à la résolution des systèmes d'équations.
En réarrangeant les équations du tableau, on obtient les équations suivantes :
Ou encore, sous forme matricielle :
Pour construire la matrice A de manière automatisée, c'est à dire créer un algorithme permettant de la retrouver, on peut utiliser les règles suivantes :
Pour construire la matrice B (aussi appelé plus loin vecteur source parce qu'il contient les valeurs des sources de courant et de tension) des constantes : il faut pour chaque élément i, additionner les courants entrant dans le nœud i et soustraire les courants sortant du nœud i.
Pas très compliqué en théorie de trouver la solution du système : il suffit de trouver la matrice inverse de A et de la multiplier par le vecteur source B. (Ca c'est des maths, allez voir sur la page dédiée à ce type de problèmes).Mais, je vous l'accorde, c'est pas très utile non plus ! Les circuits électroniques comportent souvent plus que des résistances et des sources de courant… On va donc continuer l'étude en ajoutant de nouveau type de composants au circuit : commençons par les sources de tension.
L'analyse nodale avec des source de tension est la même que celle avec des sources de courant, à l'exception près que nous avons une inconnue de plus dans le système d'équations. Cette inconnue est bien sûr le courant fourni par la source de tension Iin. C'est pourquoi, nous avons besoin d'une nouvelle équation pour résoudre le système : V1=Vin où V1 est la tension du nœud auquel la source tension est rattachée. Cette équation supplémentaire va donc faire augmenter la taille de la matrice d'une colonne et d'une ligne.
D'une manière générale, si le circuit contient une source de tension E comprise entre deux nœuds j et j' , on peut donc considérer que :
Cette équation est donc à ajouter au système d'équations représenté par la matrice A. De plus, un courant I issu de cette source va transiter dans les nœuds j et j'. Si on prend comme convention qu'un courant entrant dans un nœud est positif et qu'un courant sortant d'un nœud est négatif alors :
et 
Il faut donc ajouter ces courants dans la matrice A comme de nouvelles variables : I dans la jième ligne et -I dans la j'ième ligne. On obtient donc pour A et le vecteur source B :
et 
L'augmentation de la taille de la matrice A et du vecteur source B est aussi représentée par les lignes et colonnes (m+1).
Voilà une bonne chose de faite ! Ne nous abrutissons pas trop de formules et passons à la pratique en utilisant quelques exemples simples qui expliquent tout ce charabia :
Quand on examine le vecteur solution, on obtient donc les tensions de nœuds -8 volts, -9volts et 3 volts ainsi qu'un courant de -1 ampère pour la source de tension.
Encore un exemple :
Quand on examine le vecteur solution, on obtient donc les tensions de nœuds -3 volts et 9 volts ainsi qu'un courant de -3 ampères pour la source de tension.
Petite précision, si un des nœuds de la source de tension est la masse, disons le nœud j, alors la colonne et la ligne j n'existe pas ! En voici un exemple :
Quand on examine le vecteur solution, on obtient donc les tensions de nœuds 12 volts, 8.44 volts et 1.33 volts ainsi qu'un courant de -1.778 ampères pour la source de tension.
Voilà, vous voici enfin prêts pour résoudre tous vos petits problèmes de circuits DC. La page suivante traitera l'introduction de nouveau composants comme les condensateurs, les composants non linéaires comme les diodes et biens d'autres surprises encore !
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